Introdução

De maneira geral, existem duas grandes áreas na inferência Estatística: a estimação de parâmetros (para mais informações sobre estimação, verifique nosso post sobre função de Verossimilhança), e o teste de hipóteses. Em particular, o teste de hipoteses consiste em avaliar uma afirmação a respeito de um parâmetro (média, variância, proporção, etc.) ou um conjunto de parâmetros. Tal afirmação recebe o nome de Hipótese Nula (denotado por  H0), a afirmação alternativa recebe o nome de Hipótese Alternativa (denotado por H1).

Para deixar essa ideia um pouco mais clara, suponha que queremos saber se o tempo médio de internação por COVID (denotado por θ) é igual ou superior a 5 dias. Conseguimos reescrever essa indagação na forma de um sistema de hipóteses, a saber:

Para realizar o teste, assumimos que é possível obter uma amostra aleatória de tempo de internação de pessoas, X1,…,Xn, de uma distribuição f( . ; θ ). Tambem é necessário definir a estatística de teste (T) e região de rejeição  (R). Estatística de teste é um valor calculado a partir da amostra, seu valor define a regra de rejeição para uma hipótese, ele mostra o quanto seus dados observados correspondem à distribuição esperada sob a hipótese nula desse teste estatístico, denotamos por  R os possíveis valores para  θ em que, dado a regra de rejeição, rejeitamos  H0. Estamos interessados em saber se o tempo de internação é igual ou maior que 5 anos, ou em outras palavras  H0 : θ ≥ 5. Um possível teste seria rejeitar  H0 se    <5−10/√n, onde é a estatística de teste  T, nesse caso nossa estatística acaba por ser o estimador de  θ, digamos média amostral. No exemplo em questão, nossa região de rejeição são todos os possíveis valores de <5−10/√n. Assumiremos δ como representação do procedimento de testes de hipótese no dercorrer do post.

Um teste pode ser tanto aleatório quanto não aleatório. O exemplo anterior, por exemplo, é um ótimo exemplo de teste não aleatório. Já um teste aleatório poderia ser “jogue uma moeda para o alto, caso cara rejeite a hipótese nula”. Tão importante quanto conhecer os tipos de teste é a verificação da “qualidade” de um teste, ou o quão correto estamos ao rejeitar uma hipótese. Podemos analisar esses resultados observando a função poder bem como os tipos de erros que podemos cometer dentro de um procedimento de testes de hipóteses.

Função Poder e Tipos de Erros

Para cada teste aplicado sobre uma amostra obtida de uma distribuição f( . ; θ ) onde  θ ∈ Θ em que  Θ representa o espaço paramétricos de possíveis valores para  θ, teremos uma função poder associada. A função poder define a probabilidade, dado um valor de  θ, de rejeitar H0 dado que a mesma é falsa, ou seja, o quão acertivo foi nossa escolha dado o espaço paramétrico. Suponha um procedimento de teste δ, ou seja, possuímos uma regra de rejeição e uma estatística de teste obtidos através de uma amostra aleatória. A função π( θ | δ ) é chamada função poder do teste  δ. Se S1 denota a região de rejeição de  δ, então a função poder é determinada pela relação:

Se  δ é descrito em função da estatística de teste  T e da região de rejeição  R, então:

Para todo  θ ∈ Θ.

Sendo a função poder, a probabilidade de rejeitar a hipótese nula dado os possíveis valores do parâmetro em estudo θ, buscamos o teste δ que minimize  π(.) para os valores de  θ pertencentes ao espaço paramétrico de  H0 e a maximize quando  θ pertence ao espaço paramétrico de  H1, ou em outras palavras, π( θ ∈ Θ0 | δ )=0 e  π( θ ∈ Θ1 | δ )=1, onde  Θ0 representa o espaço paramétrico sob a hipótese nula e  Θ1 o espaço paramétrico sob a hipótese alternativa.

Retomando o exemplo inicial onde rejeitamos a hipótese nula para  < 5−10/√n, suponha que uma amostra aleatória de tempo de internação,  X1,…,X20  foi obtida de uma distribuição Normal (θ,σ2), com  σ2 conhecido e igual a 2, onde  é o estimador de máxima verossimilhaça para média amostral. Obtendo, assim, a seguinte função poder

Onde Z segue uma distribuição Normal(0,1), e c = 5 – 10/√20 obtendo assim:

Perceba que, para os valores de θ dentro do espaço paramétrico de  H0 (θ ≥ 5) o valor para função poder é 0. Para replica da função poder como apresentada acima no software de programção R basta gerar possíveis valores de θ, digamos entre 0 e 8, e para cada um desses valores calcular o quantil z crítico obtido a partir da constante c e dos valores gerados do parâmetro. Como segue:

#Gere valores de theta
theta <- seq(0,8,by = 0.01) #Calcule c e a partir dele e de theta calcule os z criticos c <- 5 - (10/sqrt(20)) zc <- (c - theta)/(sqrt(2/20)) #Calcule a funcao poder pi.theta <- pnorm(zc,0,1,lower.tail = T) #Esboce o grafico library(ggplot2) df <- cbind(theta,pi.theta) %>% as.data.frame()
df %>%
ggplot() +
aes(x = theta, y = pi.theta) +
geom_line(size = 1.1, colour = “#112446”) +
labs(
x = expression(paste(“Possíveis valores de “,
theta)),
y = expression(paste(pi,
“(“,
theta,
“|”,
delta,
“)”)),
title = “Função Poder”
) +
theme_bw() +
theme(
plot.title = element_text(size = 20L,
face = “bold”),
axis.title.y = element_text(size = 15L,
face = “bold”),
axis.title.x = element_text(size = 15L,
face = “bold”)
)

Ao considerar como possível escolha, rejeição ou não rejeição da hipótese nula, testamos uma hipótese contra a outra. Dentro deste cenário encontramos dois tipos de erros, os chamados:

• Erro do Tipo I: rejeitar a hipótese nula quando a mesma é verdadeira. Para o exemplo em questão, assumir que O tempo de internação médio dura menos que 5 dias, quando o tempo é superior a 5 dias;
• Erro do Tipo II: aceitar a hipótese nula quando a mesma é falsa. Assumindo por exemplo que o tempo de duração é superior ou igual a 5 dias quando na verdade o tempo é inferior.

É possível indicar a probabilidade de ocorrência de cada erro, para o exemplo trabalhado na sessão, por meio da seguinte notação para o Erro do Tipo I:

Para o Erro do Tipo II:

Tipos de Hipóteses

As hipóteses de um teste podem ser da forma simples ou composta. Uma hipótese simples, é aquela onde o espaço de possíveis valores de  θ é definido em apenas um ponto, dessa forma a distribuição do parâmetro é completamente especificada ( H0 : θ = θ0 , f(. ; θ0 ) , ou ainda H0: θ = 5 ). Por outro lado, uma hipótese composta é aquela cuja distribuição não é especificada completamente e  θ pode assumir um conjunto de valores  Θ ( H0 : θ ∈  Θ,  f( . ; Θ ), ou H0 : θ ≥ 5). Uma forma de introduzir o tema, é observar primeiro o contexto de Hipóteses simples versus Hipótese simples, ou em outras palavras:

Testes de razão de verossimilhança simples

Suponha que temos uma amostra aleatória X1, …, Xn de uma distribuição com parâmetro  θ que pode ser  θ0 ou  θ1. Para testar a hipótese nula  H0: θ = θ0 versus a hipótese alternativa  H1 : θ = θ1, podemos utilizar um teste de razão de verossimilhança. Esse teste envolve a comparação da função de verossimilhança L(x1,…,xn)  associada à densidade  f( ⋅ ), utilizando a razão λ = L0( ⋅ ) / L1( ⋅ ), onde L0( ⋅ ) e  L1( ⋅ ) representam as funções de verossimilhança quando  θ = θ0 e  θ = θ1, respectivamente. Se λ é menor do que uma constante não negativa  k, rejeitamos a hipótese nula, sugerindo que a amostra pode vir de uma população com distribuição  f1( ⋅ ) em vez de  f0(⋅). Por exemplo, podemos testar o tempo médio de internação, agora digamos  H0 : θ = 5 versus  H1 : θ = 7 (onde  θ ainda representa o tempo de internação médio em dias), para uma amostra aleatória de uma distribuição normal  N(θ,1), utilizando a função de verossimilhança.

Obtendo o teste de razão de verossimilhança,

Que pode ser reescrito como:

Ou seja, rejeitamos H0 para um somatório de  Xi maior que alguma constante k*. Suponha uma amostra de  ∑Xi = 36, rejeitamos H0 se  36>(12−log⁡(k))/2 note que, para a amostra em questão, temos um valor de λ extremamente baixo, logo podemos rejeitar a hipótese de tempo de duração igual a 5 dias, optando pela alternativa de 7 dias de duração, ou em outras palavras, os dados obtidos pela amostra mostram indícios de que a distribuição original da população não siga a proposta pela hipótese nula, e sim pela alternativa.

Para cada  k fixado temos um teste diferente. Uma forma de verificar o melhor  k descrito é pela análise da função poder, discutida anteriormente, para cada um dos testes, que pode ser visto também pela análise do teste Mais Poderoso, que minimize o erro proveniente do processo de teste de hipótese.

Antes de falar sobre os testes mais poderosos, uma definição deve ser esclarecida: o tamanho do teste. Vamos admitir um teste δ cuja hipótese nula seja  H0: θ ∈ Θ0 ( H0 : θ < θ0, ou H0 : θ = θ0 por exemplo), em que Θ0 ⊂ Θ(ou seja,  Θ0 é um subconjunto do espaço paramétrico  Θ). Assim, o tamanho do teste é definido como  sup[π( θ ∣ δ ) ∣ θ ∈ Θ0] onde  π( θ  ∣ δ ) é a função poder de  θ dado o procedimento de teste  δ. Ou em outras palavras, o valor para  θ dentro do espaço paramétrico da hipótese nula que maximiza a função poder associada ao procedimento de teste de hipótese  δ.

Esclarecida essa definição, daremos prosseguimento ao assunto. Assim como já comentado, queremos um teste δ em que  π( θ0 ∣ δ ) = P(Rejeitar  H0 |  H0  verdadeiro) seja a menor possível e que π( θ1 ∣ δ )  = P(Rejeitar  H0 |  H0 falsa) seja a maior possível. Em um mundo ideal, π( θ1 ) = 1 e π( θ0 ) = 0, isto é, quando os erros do tipo I e II são minimizados simultâneamente. Entretanto, na prática, uma das metodologias aplicadas, como já citado, de forma a definir o melhor teste possível é minimizar o erro do tipo II fixando o erro do tipo I.

Teste Mais Poderoso: Um teste δ∗ em que  H0 : θ = θ0 contra  H1 : θ = θ1 é definido como teste mais poderoso de tamanho  α, com  0 < α < 1, se e somente se:

• (i)  sup[ π( θ ∣ δ ) ∣  θ=θ0 ] = α

• (ii)  π( θ1 | δ* ) ≤   π( θ1 | δ ),  para qualquer outro teste  δ onde  π( θ0 | δ ) ≤ α.

Ou seja, podemos considerar um teste δ∗ como sendo o teste mais poderoso se, para qualquer outro teste de tamanho  menor ou igual a α, ele possuir o maior poder.

O lemma a seguir é muito útil para encontrar testes mais poderosos.

• Lemma Neyman-Pearson: seja  X1, …, Xn uma amostra aleatória de uma distribuição com densidade  f( x ; θ), onde θ pode assumir os valores  θ1 ou  θ0 e 0 <  α < 1. Considere  k∗ uma constante positiva e C um subconjunto do espaço de valores para Xi. Assim,

E  λ > k* se  (x1, ..., xn) ∈ C* . Onde C é a região de rejeição e C* seu complementar.

Então, considerando um teste de hipóteses simples, temos que o teste para essa região de rejeição é o teste mais poderoso. Vamos mostrar um exemplo para melhor compreensão. Seja  X1, …, Xn uma amostra aleatória de tipos de parto, onde estamos interessados em saber a proporção de partos por cesária para um determinado município, para isso suponha que a amostra segue distribuição Bernoulli( θ), onde Xi=1, foi cesária e Xi=0 caso contrário. Seja o teste H0 : θ = θ0 vs.  H1 : θ = θ1, θ1 > θ0 onde θ representa a proporção de partos por cesária. Então

Rejeitamos  H0 para um  λ ≤ k∗, note porém, que  λ

varia em função da amostra X1, …, Xn. Podendo considerar as outras informações como constantes, nos levando a rejeitar  H0 se ∑Xi≥k′. Para compreender suponha θ1 = 0.5 e θ0 = θ  = 0.3 e uma amostra de tamanho 10.

Conforme incrementamos o valor do somatório, diminuimos o valor de  λ, logo rejeitamos H0 para um valor do somatório maior que uma constante  k′, ou seja, rejeitamos a hipótese de que a proporção de partos por cesária seja 0.3 e optamos pela proporção de 0.5 caso o número de cesarianas seja relativamente alto.

Perceba porém, que ao trabalharmos com uma variável de contagem ( ∑Xi∼Binomial(n,θ)), não se torna tão simples assim fixar o valor de α de forma arbitrária como fariamos em um teste para variáveis contínuas para encontrar o teste mais poderoso, já que  k∗ pode assumir apenas valores inteiros. Lembrando que  α = P( ∑Xi ≥ k′∣ θ = 0.3), fazendo o processo inverso, onde fixamos os possíveis valores de k′ ( 0 ≤ k′ ≤  10), obtemos os seguintes tamanhos de teste  α:

Assim,

Substituindo pelos valores propostos no problema então obtemos que  λ=0,00000000233, pois  0.5 ≥ ∑Xi /n, rejeitando H0 para um λ < k. É possível notar, porém, que λé função de  ∑Xi e que  λ é descrescente conforme incrementado o valor de ∑Xi, logo rejeitamos H0 para um  ∑Xi > k′.

Testes Uniformemente Mais Poderosos (UMP): um teste δ∗ do tipo  H0: θ ∈ Θ0 contra  H1: θ ∈ Θ1 = Θ – Θ0 é definido como UMP de tamanho  α se e somente se

 (i)  sup[π( θ ∣ δ ) ∣  θ ∈ Θ0] = α;

(ii) π( θ ∣ δ* )> π( θ ∣ δ )  para todo θ ∈ Θ−Θ0 e para qualquer teste  δ de tamanho menor ou igual a  α.

Note que na verdade o teste UMP é a generalização do apresentado para teste de hipóteses simples agora no cenário em que possuímos um intervalo de possíveis valores para o paramêtro. Voltando ao exemplo acima, sabemos que rejeitamos H0 se  ∑Xi>k′, então, supondo que queremos o teste UMP de tamanho α = 0.05, basta encontrar o quantil da distribuição Binomial(30,0.5), que acumule 0.05 de probabilidade na calda a esquerda. Por apoio computacional  com o software R, basta atribuir a função qbinom() os valores para obter o quantil que acumule os 0.05 de probabilidade na calda a direita, como segue:

alpha = 0.05
n= 30
theta = 0.5
qbinom(p = alpha, size= n, prob = theta, lower.tail = F)

Obtendo o valor de 19, ou seja, o teste UMP de tamanho α = 0.05 é aquele em que rejeitamos H0 para um  ∑Xi > 19.